Основы описания прямолинейных колебаний точки

Кафедра теоретической механики

КОЛЕБАНИЯ Вещественной ТОЧКИ

Методические указания и контрольные задания

для бакалавров всех специальностей

НОВОСИБИРСК 2017

Методические указания и контрольные задания разработали

В.Я. Рудяк, А.А. Белкин, С.Л. Краснолуцкий

Утверждены методической комиссией …

Рецензенты: П. В. Александров, канд. физ.-мат. наук,

доцент (НГАСУ (Сибстрин))

Е.В. Лежнев, канд. техн. наук,

доцент (НГТУ)

Новосибирский муниципальный

архитектурно Основы описания прямолинейных колебаний точки-строительный

институт (Сибстрин), 2017

СОДЕРЖАНИЕ

Вступление........................................................................................................ 4

1. Базы описания прямолинейных колебаний точки.......................... 5

1.1. Свободные незатухающие колебания (без учета сопротивления среды) 5

1.2. Свободные колебания при наличии неизменной силы................... 6

1.3. Свободные затухающие колебания (с учетом сопротивления среды). 7

1.4. Обязанные колебания без учета сопротивления среды........... 7

1.5. Принципы решения задач на колебательное движение точки. ... 8

2. Контрольное задание................................................................................... 9

3. Пример выполнения задания................................................................... 19

Перечень литературы......................................................................................... 24


Вступление

Методические указания посвящены Основы описания прямолинейных колебаний точки рассмотрению колебательного движения вещественной точки. Эта тема является одной из более принципиальных в разделе «Динамика» курса теоретической механики.

При разработке указаний создатели опирались на новые образовательные эталоны для бакалавров, теоретический материал, изложенный в рекомендуемых студентам учебниках, свой опыт чтения лекций и проведения практических занятий по теоретической механике, ряд методических Основы описания прямолинейных колебаний точки указаний, использовавшихся ранее. В истинной постановке включенные в контрольные задания задачки в основном соответствуют учебным программкам бакалавров строй специальностей.

Цель указаний – посодействовать студентам освоить теоретический материал и приобрести способности внедрения теоретических положений к решению задач на колебательное движение вещественной точки. Теоретический материал включает описание разных типов колебательного Основы описания прямолинейных колебаний точки движения, контрольное задание содержит задачки на свободные незатухающие колебания точки. Задание позволяет для довольно обычных ситуаций научиться связывать удлинение пружины с координатой груза, формулировать исходные условия и использовать их в решении задачки, уяснить смысл статического удлинения. Для реальных указаний были разработаны новые варианты контрольных задач.

Все принципные моменты выполнения личного Основы описания прямолинейных колебаний точки задания тщательно изложены в приведенном примере. До того как приступить к выполнению задания, студенту следует ознакомиться с подходящим теоретическим материалом и разобрать пример решения задачки.


Базы описания прямолинейных колебаний точки

1.1. Свободные незатухающие колебания (без учета сопротивления среды).Разглядим колебания вещественной точки (груза) на пружине (рис. 2.1), считая поначалу, что сила тяжести не действует Основы описания прямолинейных колебаний точки, и пренебрегая сопротивлением движению. Ось направим в сторону удлинения пружины, а начало координат возьмем в нижнем конце недеформированной пружины ( –длина недеформированной пружины). Тогда на груз действует единственная сила – сила упругости пружины , которая является восстанавливающей силой, так как она стремится возвратить груз в положение равновесия. Модуль силы упругости Основы описания прямолинейных колебаний точки определяется законом Гука и при малых удлинениях пружины равен

, (1.1)

где – коэффициент жесткости пружины (он указывает, какая сила нужна для растяжения пружины на один метр), а – ее удлинение. В избранной нами системе координат удлинение равно координате груза , проектируя на ось 2-ой закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение (ДУ) свободных колебаний

либо , (1.2)

где Его Основы описания прямолинейных колебаний точки общее решение имеет вид

либо . (1.3)

Такое движение вещественной точки именуется гармоническими колебаниями. Величина , равная наибольшему отклонению точки от положения равновесия, именуется амплитудой колебаний. Величина именуется фазой, при всем этом – исходной фазой колебаний. Величину именуют частотой. Просвет времени , в течение которого совершается одно полное колебание, именуется периодом.

Общее решение (1.3) находится в Основы описания прямолинейных колебаний точки зависимости от 2-ух случайных неизменных, которые определяются из исходных данных: исходного положения груза , и проекции на ось его исходной скорости . Просто убедиться, что

, . (1.4)

Из (1.3), (1.4) следуют два принципиальных характеристики свободных колебаний:

1. Амплитуда и исходная фаза колебаний зависят от исходных критерий задачки.

2. Частота и период колебаний не зависят от исходных критерий задачки и Основы описания прямолинейных колебаний точки на сто процентов определяются параметрами самой колебательной системы (в нашем примере системы из грузика и пружинки).

1.2. Свободные колебания при наличии неизменной силы.Разглядим, как оказывает влияние на свободные колебания неизменная сила. Пусть на груз, изображенный на рис. 1.1, действует сила тяжести (рис. 1.2). Заметим, что если б груз находился Основы описания прямолинейных колебаний точки в равновесии, то это означало бы, что сила тяжести уравновешивается силой упругости пружины, т.е. производится равенство , где – статическое удлинение пружины. Возьмем за начало отсчета оси точку , отстоящую от конца недеформированной пружины на расстоянии (см. рис. 1.2). Тогда удлинение пружины в этой системе координат равно . Составляя сейчас уравнение Ньютона движения груза Основы описания прямолинейных колебаний точки и проецируя его на ось , получим , но так как , то в этой системе координат мы опять приходим к уравнению (1.2). Отсюда заключаем, что неизменная сила , не изменяя нрава колебаний, сдвигает их центр в сторону ее деяния на величину статического удлинения .

1.3. Свободные затухающие колебания (с учетом сопротивления среды). Пусть сейчас на Основы описания прямолинейных колебаний точки вещественную точку действует еще сила сопротивления среды (воды, воздуха), пропорциональная скорости: . Записывая 2-ой закон Ньютона и проектируя его на ось с началом координат в положении статического равновесия пружины, приходим к уравнению

либо

, (1.5)

где .

Тут вероятны три разных варианта. В первом, когда сопротивление среды не достаточно по сопоставлению с восстанавливающей силой Основы описания прямолинейных колебаний точки, т.е. , общее решение уравнения (1.5) имеет вид

либо . (1.6)

Неизменные интегрирования обусловятся из исходных критерий и

, . (1.7)

Движение, таким макаром, носит колебательный нрав с частотой и периодом . Амплитуда колебаний убывает с течением времени по экспоненциальному закону.

В 2-ух других случаях, когда либо , решения можно записать соответственно так

и , (1.6а)

где . Как следует, в Основы описания прямолинейных колебаний точки этих 2-ух случаях колебательное движение вообщем не появляется, а движение вещественной точки стремительно затухает.

1.4. Обязанные колебания без учета сопротивления среды. Пусть сейчас вместе с восстанавливающей силой и силой тяжести на точку действует к тому же сила , изменяющаяся по гармоническому закону: , где – ее амплитуда, а – частота. Уравнение движения в системе координат с Основы описания прямолинейных колебаний точки началом в положении статического равновесия тогда имеет вид

, (1.8)

где , . Это неоднородное дифференциальное уравнение, и его решение можно записать в форме , где – общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью), а – личное решение неоднородного уравнения (1.8). Но , личное же решение имеет вид . Потому движение точки описывается формулой

. (1.9)

Такое движение именуют принужденными колебаниями. Неизменные Основы описания прямолинейных колебаний точки и a опять определяются из исходных критерий задачки. Таким макаром, движение точки слагается из собственных колебаний с амплитудой А (зависящей от исходных критерий) и частотой k и принужденных колебаний с амплитудой p0 / (k2 – p2) (не зависящей от исходных критерий) и частотой .

Решение (1.9) применимо только в случае, когда Основы описания прямолинейных колебаний точки . Если собственная частота совпадает с частотой возмущающей силы p = k, решение можно представить в форме

. (1.10)

Амплитуда принужденных колебаний, как мы лицезреем, вырастает линейно с течением времени. Это явление именуется резонансом.


osnovi-lechebnogo-golodaniya.html
osnovi-legkosti-obucheniya-i-ucheniya.html
osnovi-logicheskogo-programmirovaniya-na-yazike-prolog.html